Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，AC、BD交于点O，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.

（1）求证：BD⊥平面PAC；

（2）若，，求二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）arccos

【解析】

（1）证明PA⊥BD．PC⊥BD．即可证明BD⊥平面PAC．

（2）由PC⊥平面BDE得∠BEO为二面角 B﹣PC﹣A的平面角，在Rt△BEO中，即可求解二面角B﹣PC﹣A的大小．

证明：（1）∵PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD

∴PA⊥BD．同理由PC⊥平面BDE，可证得PC⊥BD．

又PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC．

（2）由PC⊥平面BDE,故PC⊥OE，PC⊥BE则∠BEO为二面角 B﹣PC﹣A的平面角

由（1）知BO⊥AC∴ABCD为正方形∴AB＝2，AC=2,故PC=3

在Rt△BEO中，又，

∴cos∠EFO

∴二面角B﹣PC﹣A的大小为arccos