Question

设集合s为非空实数集，若数η（ξ）满足：
（1）对?x∈S，有x≤η（x≥ξ），即η（ξ）是S的上界（下界）；
（2）对?a＜η（a＞ξ），?x_o∈S，使得x_o＞a（x_o＜a），即η（ξ）是S的最小（最大）上界（下界），则称数η（ξ）为数集S的上（下）确界，记作η=supS（ξ=infS）．
给出如下命题：
①若 S={x|x²＜2}，则 supS=-；
②若S={x|x=n|，x∈N}，则infS=l；
③若A、B皆为非空有界数集，定义数集A+B={z|z=x+y，x∈A，y∈B}，则sup（A+B）=supA+supB．
其中正确的命题的序号为________（填上所有正确命题的序号）．

Answer 1

解：①由x²＜2，得，∴，故①不正确；
②∵x∈N，∴infS=0，故②不正确；
③∵?x∈A，?y∈B，∴x≤supA，y≤supB，
∴z=x+y≤supA+supB，
∴sup（A+B）≤supA+supB；
同理supA+supB≤sup（A+B）；
故sup（A+B）=supA+supB．
故③正确．
故答案为③．
分析：①由上确界的定义可得supS=；
②由下确界的定义可得infS=0；
③利用上下确界的定义即可证明正确．
点评：正确理解新定义是解题的关键．