Question

（2012•安徽模拟）已知f（x）=2

3

sinx+

sin2x

sinx

（1）求f（x）的最大值，及当取最大值时x的取值集合．
（2）在三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，对定义域内任意x，有f（x）≤f（A），若a=

3

，求

AB

•

AC

的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式及辅助角公式对函数化简，从而可求f（x）的最大值，及当取最大值时x的取值集合；
（2）由f（x）≤f（A）可知f（A）为f（x）为最大值，结合A的范围可求A，由

AB

•

AC

=cbcosA=

1

2

cb，结合余弦定理及基本不等式可求最值

解答：解：（1）f（x）=2

3

sinx+

sin2x

sinx

=2

3

sinx+2cosx=4sin（x+

π

6

）
∴当x+

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z）时，f（x）取得最大值为4
∴f（x）的最大值为4，取最大值时x的取值集合为{x|x=2kπ+

π

3

，k∈Z}．
（2）对定义域内任意x，有f（x）≤f（A），∴f（A）为f（x）为最大值
∴f（A）=4即sin（A+

π

6

）=1
∴0＜A＜π，∴A=

π

3

∴

AB

•

AC

=cbcosA=

1

2

cb
又∵a²=b²+c²-2bccosA，a=

3

∴3=b²+c²-bc≥bc（当b=c时取等号）
∴bc≤3
∴

AB

•

AC

的最大值

3

2

，此时b=c=

3

点评：本题主要考查了三角函数的二倍角公式、辅助角公式在三角函数化简中的应用，余弦定理及向量的数量积的应用．