Question

15．设非零向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角是$\frac{5π}{6}$，且$|\overrightarrow a|=|\overrightarrow a+\overrightarrow b|$，则$\frac{|2\overrightarrow a+t\overrightarrow b|}{|\overrightarrow b|}$（t∈R）的最小值是$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 对$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$两边平方，便可得到$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{3}|\overrightarrow{a}|$，从而得到$\frac{（2\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}）^{2}}{{\overrightarrow{b}}^{2}}={t}^{2}-2t+\frac{4}{3}$，这样根据二次函数的最值公式即可得到${t}^{2}-2t+\frac{4}{3}$的最小值，从而得出$\frac{|2\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{b}|}$的最小值．

解答 解：由条件：${\overrightarrow{a}}^{2}=（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）^{2}$；
∴$-\sqrt{3}|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|+{\overrightarrow{b}}^{2}=0$；
∴$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{3}|\overrightarrow{a}|$；
∴$\frac{（2\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}）^{2}}{{\overrightarrow{b}}^{2}}=\frac{4{\overrightarrow{a}}^{2}-6t{\overrightarrow{a}}^{2}+3{t}^{2}{\overrightarrow{a}}^{2}}{3{\overrightarrow{a}}^{2}}$=${t}^{2}-2t+\frac{4}{3}≥\frac{\frac{16}{3}-4}{4}=\frac{1}{3}$；
∴$\frac{|2\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{b}|}$的最小值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 考查数量积的运算及其计算公式，以及二次函数的最值公式．