Question

17．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC是等边三角形，且AA₁⊥平面ABC，D为AB的中点．
（Ⅰ） 求证：直线BC₁∥平面A₁CD；
（Ⅱ） 若AB=BB₁=2，E是BB₁的中点，求三棱锥A₁-CDE的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AC₁，交A₁C于点F，由三角形中位线定理可得BC₁∥DF，再由线面平行的判定可得BC₁∥平面A₁CD；
（Ⅱ）直接利用等积法求三棱锥A₁-CDE的体积．

解答 （Ⅰ）证明：连接AC₁，交A₁C于点F，
则F为AC₁的中点，又D为AB的中点，
∴BC₁∥DF，
又BC₁?平面A₁CD，DF?平面A₁CD，
∴BC₁∥平面A₁CD；
（Ⅱ）解：三棱锥A₁-CDE的体积${V_{{A_1}-CDE}}={V_{C-{A_1}DE}}=\frac{1}{3}{S_{△{A_1}DE}}•h$．
其中三棱锥A₁-CDE的高h等于点C到平面ABB₁A₁的距离，可知$h=CD=\sqrt{3}$．
又${S_{△{A_1}DE}}=2×2-\frac{1}{2}×1×2-\frac{1}{2}×1×1-\frac{1}{2}×1×2=\frac{3}{2}$．
∴${V_{{A_1}-CDE}}={V_{C-{A_1}DE}}=\frac{1}{3}{S_{△{A_1}DE}}•h=\frac{1}{3}×\frac{3}{2}×\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．