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    已知双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1(a＞0，b＞0)    的右顶点为A（2，0），一条渐近线为y=
    1
    2
    x    ，过点B（0，2）且斜率为k的直线l与该双曲线交于不同的两点P，Q．
    （I）求双曲线的方程及k的取值范围；
    （II）是否存在常数k，使得向量
    OP
    +
    OQ
    与
    AB
    垂直？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由．
    （I）由题意，a=2，
    b
    a
    =
    1
    2
    ，∴b=1
    ∴双曲线的方程为
    x2
    4
    -y2=1
    设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线方程，可得（4k2-1）x2+16kx+20=0
    ∵过点B（0，2）且斜率为k的直线l与该双曲线交于不同的两点P，Q
    ∴4k2-1≠0且△=256k2-80（4k2-1）＞0，即k2≠
    1
    4
    且k2＜
    5
    4

    解得-
    		5
    2
    ＜k＜
    		5
    2
    且k≠±
    1
    2
    ；
    （II）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=
    -16k
    4k2-1
    ，
    ∵
    OP
    +
    OQ
    =（x1+x2，y1+y2），
    AB
    =（-2，2），
    OP
    +
    OQ
    与
    AB
    垂直
    ∴-2（x1+x2）+2（y1+y2）=0
    ∴（x1+x2）（k-1）+4=0
    ∴
    -16k(k-1)
    4k2-1
    +4=0
    ∴k=
    1
    4

    ∴存在常数k=
    1
    4
    ，使得向量
    OP
    +
    OQ
    与
    AB
    垂直．
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    x2
    a2
    -
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    7
    =1    ，直线l过其左焦点F1，交双曲线的左支于A、B两点，且|AB|=4，F2为双曲线的右焦点，△ABF2的周长为20，则此双曲线的离心率e=
     
    ．

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    已知双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1    的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且该双曲线的离心率为
    		5
    ，则该双曲线的渐近线方程为（　　）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1(b＞a＞0)    ，O为坐标原点，离心率e=2，点M(
    		5
    ，
    		3
    )    在双曲线上．
    （1）求双曲线的方程；
    （2）若直线l与双曲线交于P，Q两点，且
    OP
    •
    OQ
    =0    ．问：
    1
    |OP|2
    +
    1
    |OQ|2
    是否为定值？若是请求出该定值，若不是请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （1）已知直线l：kx-y+1+2k=0（k∈R），则该直线过定点
    （-2，1）
    （-2，1）
    ；
    （2）已知双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1的一条渐近线方程为y=
    4
    3
    x，则双曲线的离心率为
    5
    3
    5
    3
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1    （a＞0，b＞0）满足| 
    a1
    b
    		2
     |=0    ，且双曲线的右焦点与抛物线y2=4
    		3
    x    的焦点重合，则该双曲线的方程为
     
    ．

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