Question

已知凼数f（x）=2sin（π+x）sin（x+

π

2

）+2

3

cos²x
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若f（A）=0，b=4，c=3，点D为BC上一点，且对于任意实数t恒有|

AB

+t

BC

|≥|

AD

|成立，求AD的最大值．

Answer 1

考点：正弦函数的单调性,三角函数的最值

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质,解三角形,平面向量及应用

分析：（1）运用诱导公式和二倍角公式以及两角差的正弦公式，化简f（x），再由正弦函数的减区间，解不等式即可得到所求增区间；
（2）由f（A）=0，可得A，由余弦定理可得a，再由向量的平方即为模的平方，结合恒成立即有判别式小于等于0，解关于t的不等式，即可得到最大值．

解答： 解：（1）f（x）=2sin（π+x）sin（x+

π

2

）+2

3

cos²x
即为f（x）=-2sinxcosx+2

3

cos²x=-sin2x+

3

（1+cos2x）
=

3

-2（

1

2

sin2x-

3

2

cos2x）=

3

-2sin（2x-

π

3

），
令2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，
解得kπ+

5π

12

≤x≤kπ+

11π

12

，k∈Z，
即有f（x）的单调增区间为[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]，k∈Z；
（2）若f（A）=0，即为

3

-2sin（2A-

π

3

）=0，
即sin（2A-

π

3

）=

3

2

，由于A为锐角，则2A-

π

3

=

π

3

，即有A=

π

3

，
由余弦定理可得，a²=b²+c²-2bccosA=16+9-2×4×3×

1

2

=13，即有a=

13

．
cosB=

c2+a2-b2

2ca

=

9+13-16

2×3× 13

=

1

13

，
对于任意实数t恒有|

AB

+t

BC

|≥|

AD

|成立，
即有（

AB

+t

BC

）²≥|

AD

|²，
即为c²+t²a²+2t

AB

•

BC

≥|

AD

|²，
即为9+13t²-2t×3×

13

×

1

13

≥|

AD

|²，
即有13t²-6t+9-|

AD

|²≥0，
即有判别式△≤0，
即36-4×13×（9-|

AD

|²）≤0，
解得|

AD

|≤

6 39

13

．
即有AD的最大值为

6 39

13

．

点评：本题考查诱导公式、二倍角公式以及两角差的正弦公式，考查正弦函数的单调区间，考查余弦定理以及向量的平方即为模的平方，以及二次不等式恒成立的解法，属于中档题和易错题．