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已知椭圆的离心率为,且过点(),

(1)求椭圆的方程;

(2)设直线与椭圆交于P,Q两点,且以PQ为对角线的菱形的一顶点为(-1,0),求:△OPQ面积的最大值及此时直线的方程.

 

【答案】

(1)(2)面积取最大值1,= 

【解析】

试题分析:(Ⅰ)∵

故所求椭圆为:又椭圆过点()  ∴ ∴ ∴

(Ⅱ)设的中点为

将直线联立得

 ①

=

又(-1,0)不在椭圆上,依题意有整理得 ②…

由①②可得,∵, 设O到直线的距离为,则

 =

=…分)

的面积取最大值1,此时= ∴直线方程为= 

考点:椭圆的方程性质及直线与椭圆的位置关系

点评:直线与椭圆相交时常联立方程,利用韦达定理设而不求的方程转化求解出弦长,本题求解三角型面积最值转化成二次函数,有时利用均值不等式求最值,此题中第二小题属于难题

 

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆的离心率为e,两焦点分别为F1、F2,抛物线C以F1为顶点、F2为焦点,点P为抛物线和椭圆的一个交点,若e|PF2|=|PF1|,则e的值为(  )
A、
1
2
B、
2
2
C、
3
3
D、以上均不对

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆的离心率为
1
2
,焦点是(-3,0),(3,0),则椭圆方程为(  )
A、
x2
36
+
y2
27
=1
B、
x2
36
-
y2
27
=1
C、
x2
27
+
y2
36
=1
D、
x2
27
-
y2
36
=1

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,在由圆O:x2+y2=1和椭圆C:
x2
a2
+y2
=1(a>1)构成的“眼形”结构中,已知椭圆的离心率为
6
3
,直线l与圆O相切于点M,与椭圆C相交于两点A,B.
(1)求椭圆C的方程;
(2)是否存在直线l,使得
OA
OB
=
1
2
OM
2
,若存在,求此时直线l的方程;若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(1)已知椭圆的离心率为
2
2
,准线方程为x=±8,求这个椭圆的标准方程;
(2)假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30-7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:00-8:00之间,请你求出父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,A,B是椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右顶点,M是椭圆上异于A,B的任意一点,已知椭圆的离心率为e,右准线l的方程为x=m.
(1)若e=
1
2
,m=4,求椭圆C的方程;
(2)设直线AM交l于点P,以MP为直径的圆交MB于Q,若直线PQ恰过原点,求e.

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