Question

7．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{asinx+2，x≥0}\\{{x}^{2}+2a，x＜0}\end{array}\right.$（其中a∈R）的值域为S，若[1，+∞）⊆S，则a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，$\frac{1}{2}$）
• B． [1，$\frac{3}{2}$]∪（$\frac{7}{4}$，2]
• C． （-∞，$\frac{1}{2}$）∪[1，2]
• D． （$\frac{3}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 对a=0，a＞，a＜0分类求出分段函数的值域S，结合[1，+∞）⊆S，由两集合端点值间的关系列不等式求得a的取值范围．

解答 解：a=0，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{asinx+2，x≥0}\\{{x}^{2}+2a，x＜0}\end{array}\right.$=$\left\{\begin{array}{l}{2，x≥0}\\{{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，函数的值域为S=（0，+∞），满足[1，+∞）⊆S，
a＞0，当x≥0时，f（x）=asinx+2∈[2-a，2+a]；当x＜0时，f（x）=x²+2a∈（2a，+∞）．
若0$＜a＜\frac{2}{3}$，f（x）的值域为（2a，+∞），由[1，+∞）⊆S，得2a＜1，∴0$＜a＜\frac{1}{2}$；
若$\left\{\begin{array}{l}{2-a≤2a}\\{2+a≥2a}\end{array}\right.$，即$\frac{2}{3}≤a≤2$，f（x）的值域为[2-a，+∞），由[1，+∞）⊆S，得2-a≤1，∴1≤a≤2；
若2+a＜2a，即a＞2，f（x）的值域为[2-a，2+a]∪（2a，+∞），由[1，+∞）⊆S，得2a＜1，∴a∈∅；
a＜0，当x＜0，f（x）=x²+2a＞2a，此时一定有[1，+∞）⊆S．
综上，满足[1，+∞）⊆S的a的取值范围是（-∞，$\frac{1}{2}$）∪[1，2]．
故选：C．

点评 本题考查函数的值域及其求法，体现了分类讨论的数学思想方法，考查了集合间的关系，是中档题．