Question

某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A=，其中A的各位数中，a₁=1，a_k（k=2，3，4，5）出现0的概率为

1

3

，出现1的概率为

2

3

．记ξ=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅，当程序运行一次时，ξ的数学期望（　　）Eξ=

• A、

  8

  27

• B、

  16

  81

• C、

  11

  3

• D、

  65

  81

Answer 1

分析：由题意出现0的概率为

1

3

，出现1的概率为

2

3

，借助于二进制数A的特点知每一个数位上的数字只能填0，1，并且 每个数位上的数字再填时互不影响，所以每个数位上可以填0，或1，而ξ=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅，当程序运行一次时，故以后的5位数中后4位的所有结果有4类且相互之间互斥，利用独立事件同时发生及互斥事件一个发生的概率公式，再有期望定义即可求得．

解答：解：由于二进制数A的特点知每一个数位上的数字只能填0，1，且 每个数位上的数字再填时互不影响，故以后的5位数中后4位的所有结果有4类：①后4个数为都出现1，记其概率为P₁；②后4个数位只出现1个1，记其概率为P₂；③后4位数位出现2个1，记其概率为P₃；④后4个数为上出现3个，记其概率为P₄，
又由于 出现0的概率为

1

3

，出现1的概率为

2

3

，所以  P1=(

2

3

)4=

16

81

，P2= 

C

1 4

2

3

•(

1

3

)3=

8

81

，P3=

C

2 4

(

2

3

)2(

1

3

)2 =

24

81

，P4=

C

3 4

(

2

3

) 3

1

3

=

32

81

，
又ξ=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅，由题意可以知ξ=5，2，3，4，该随机变量ξ的分布列为：

所以Eξ=5×

16

81

+2×

8

81

+3×

24

81

+4×

32

81

=

11

3

．
故选：C

点评：此题考查了独立事件同时发生及互斥事件一个发生的概率公式，随机变量的定义及其分布列，还考查了随机变量的期望．