Question

已知椭圆C的焦点在x轴上，中心在原点，离心率e=

3

3

，直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆O相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C的左、右顶点分别为A₁、A₂，点M是椭圆上异于A₁、A₂的任意一点，设直线MA₁、MA₂的斜率分别为kMA1、kMA2，证明kMA1•kMA2为定值；
（Ⅲ）设椭圆方程

x2

a2

+

y2

b2

=1，A₁、A₂为长轴两个端点，M为椭圆上异于A₁、A₂的点，kMA1、kMA2分别为直线MA₁、MA₂的斜率，利用上面（Ⅱ）的结论得kMA1•kMA2=

 

（只需直接填入结果即可，不必写出推理过程）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由离心率e=

3

3

，直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆O相切，知b=

|0-0+2|

2

=

2

，

c

a

=

3

3

，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）由椭圆方程得A1(-

3

，0)，A2(

3

，0)，设M点坐标（x_o，y_o），则

xo2

3

+

yo2

2

=1?yo2=

2

3

(3-xo2)，由此能证明kMA1•kMA2是定值．
（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论得kMA1•kMA2=-

b

a

．

解答：解：（Ⅰ）∵离心率e=

3

3

，直线l：y=x+2与以原点为圆心，椭圆C的短半轴为半径的圆O相切，
∴b=

|0-0+2|

2

=

2

，

c

a

=

3

3

，
∴a=

3

，
∴椭圆方程

x2

3

+

y2

2

=1
（Ⅱ）证明：由椭圆方程得A1(-

3

，0)，A2(

3

，0)
设M点坐标（x_o，y_o）
则

xo2

3

+

yo2

2

=1?yo2=

2

3

(3-xo2)，
kMA1=

yo

xo+ 3

，kMA2=

yo

xo- 3

，
∴kMA1•kMA2=

yo2

xo2-3

=

2 3 (3-xo2)

xo2-3

=-

2

3

∴kMA1•kMA2是定值
（Ⅲ）kMA1•kMA2=-

b2

a2

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，证明kMA1•kMA2为定值．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用椭圆性质，合理地进行等价转化．