Question

1．设数列{a_n}的前n项和S_n=aqⁿ+b（a，b为非零实数，q≠0且q≠1）．
（1）当a，b满足什么关系式，{a_n}是等比数列；
（2）若{a_n}为等比数列，证明：以（a_n，S_n）为坐标的点都落在同一条直线上．

Answer 1

分析 （1）当a+b=0时，a₁=S₁=a（q-1）．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=aq^n-1（q-1）．当n=1时也成立．于是数列{a_n}为等比数列；
（2）运用等比数列的通项和求和公式的关系，即可得证．

解答 解：（1）当a，b满足a+b=0，{a_n}是等比数列．
理由：当a+b=0时，a₁=S₁=aq+b=a（q-1）．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=aq^n-1（q-1）．
当n=1时也成立．
于是$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{a{q}^{n}（q-1）}{a{q}^{n-1}（q-1）}$=q（n∈N₊），
即数列{a_n}为等比数列；
（2）证明：若{a_n}为等比数列，设公比为q，q≠1，
则S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{{a}_{1}-{a}_{1}{q}^{n}}{1-q}$=$\frac{{a}_{1}-{a}_{n}q}{1-q}$
=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$-$\frac{q}{1-q}$a_n，
即有以（a_n，S_n）为坐标的点都落在同一条直线
y=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$-$\frac{q}{1-q}$x上．

点评 本题考查等比数列的通项和求和公式的运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．