Question

已知不论m为何值，直线l：（m+2）x+（1-2m）y+4-3m=0恒过一定点M．
（1）求点M的坐标；
（2）设直线l₁过点M且夹在两坐标轴间的线段被M平分，求l₁的方程；
（3）设直线l₂过点M且和两坐标轴负半轴围成的三角形面积最小，求l₂的方程．

Answer 1

考点：恒过定点的直线,直线的截距式方程

专题：直线与圆

分析：（1）原方程变形可得（x-2y-3）m+2x+y+4=0，联立

x-2y-3=0 2x+y+4=0

，解方程组得交点即为所求；
（2）设直线l₁的方程为y+2=k（x+1），易得直线与两坐标轴的交点为（0，k-2），（

2

k

-1，0），由中点坐标公式可得k值；
（3）设直线l₂的方程为y+2=k（x+1），k＜0，可得S=

1

2

|k-2||

2

k

-1|=

1

2

（-k+

4

-k

+4），由基本不等式可得．

解答： 解：（1）原方程变形可得（x-2y-3）m+2x+y+4=0，
联立

x-2y-3=0 2x+y+4=0

，解得

x=-1 y=-2

，即点M的坐标为（-1，-2）；
（2）设直线l₁的方程为y+2=k（x+1），即y=kx+k-2，
令x=0可得y=k-2，令y=0可得x=

2

k

-1，
即直线与两坐标轴的交点为（0，k-2），（

2

k

-1，0）
由中点坐标公式可得k-2+0=2×（-1），解得k=0，
∴l₁的方程为y+2=0；
（3）设直线l₂的方程为y+2=k（x+1），k＜0，
令x=0可得y=k-2，令y=0可得x=

2

k

-1，
∴三角形面积S=

1

2

|k-2||

2

k

-1|=

1

2

|

(k-2)2

k

|
=

1

2

|k+

4

k

-4|=

1

2

（-k+

4

-k

+4）≥

1

2

（2

-k• 4 -k

+4）=4
当且仅当-k=

4

-k

即k=-2时取等号，
∴此时l₂的方程为2x+y+4=0

点评：本题考查直线横过定点问题，涉及基本不等式求最值，属中档题．