Question

【题目】已知函数f（x）= ，若F（x）=f[f（x）+1]+m有两个零点x1 ， x2 ， 则x1+x2的取值范围是（ ）
A.[4﹣2ln2，+∞）
B.[1+ ，+∞）
C.[4﹣2ln2，1+ ）
D.[﹣∞，1+ ）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：当x≥1时，f（x）=lnx≥0， ∴f（x）+1≥1，
∴f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），
当x＜1，f（x）=1﹣ ＞ ，
f（x）+1＞ ，
f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），
综上可知：f[f（x）+1]=ln（f（x）+1）+m=0，
则f（x）+1=e﹣m ， f（x）=e﹣m﹣1，有两个根x1 ， x2 ， （不妨设x1＜x2），
当x≥1是，lnx2=e﹣m﹣1，当x＜1时，1﹣ =e﹣m﹣1，
令t=e﹣m﹣1＞ ，则lnx2=t，x2=et ， 1﹣ =t，x1=2﹣2t，
∴x1+x2=et+2﹣2t，t＞ ，
设g（t）=et+2﹣2t，t＞ ，
求导g′（t）=et﹣2，令g′（t）=0，解得：t=ln2，
t∈（ ，ln2），g′（t）＜0，函数g（t）单调递减，
t∈（ln2，+∞），g′（t）＞0，函数g（t）单调递增，
∴当t=ln2时，g（t）取最小值，最小值为：g（t）min=g（ln2）=2+2﹣2ln2=4﹣2ln2，
∴g（x）的值域为[4﹣2ln2，+∞），
∴x1+x2取值范围[4﹣2ln2，+∞），
故选：A．