Question

（2012•蓝山县模拟）某公园的大型中心花园的边界为椭圆，花园内种植各种花草，为增强观赏性，在椭圆内以其中心为直角顶点且关于中心对称的两个直角三角形内种植名贵花草（如图），并以该直角三角形斜边开辟观赏小道（不计小道的宽度），某园林公司承接了该中心花园的施工建设，在施工时发现，椭圆边界上任意一点到椭圆两焦点距离和为4（单位：百米），且椭圆上点到焦点的最近距离为1（单位：百米）．
（1）试以椭圆中心为原点建立适当的坐标系，求出该椭圆的标准方程；
（2）请计算观赏小道的长度（不计小道宽度）的最大值．

Answer 1

分析：（1）以两焦点连线为x轴，中心为坐标原点建立直角坐标系，根据椭圆边界上任意一点到椭圆两焦点距离和为4可求出a的值，根据椭圆上点到焦点的最近距离为1可求出c的值，从而求出椭圆方程；
（2）讨论直角三角形斜边所在直线方程的斜率是否存，存在时设出方程，表示出AB的长，再利用基本不等式求出最值即可，斜率不存在时斜边可直接求出．

解答：解：（1）如图，以两焦点连线为x轴，中心为坐标原点建立直角坐标系；
设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由已知，2a=4，a-c=1，a=2，c=1，
∴b=

3

，故椭圆的标准方程

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）①若该直角三角形斜边斜率存在且不为0，设直角三角形斜边所在直线方程为y=kx+m，斜边与椭圆的交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立方程组y=kx+m

x2

4

+

y2

3

=1
得3x²+4（kx+m）²=12，即（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
则△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）=48（4k²-m²+3）＞0，即4k²-m²+3＞0．
∴x₁+x₂=-

8km

3+4k2

，x₁x₂=

4m2-12

3+4k2

，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=k²

4m2-12

3+4k2

-

8k2m2

3+4k2

+m²=

3m2-12k2

3+4k2

，
要使△AOB为直角三角形，需使x₁x₂+y₁y₂=0，
即

4m2-12

3+4k2

+

3m2-12k2

3+4k2

=0，所以7m²-12k²-12=0，（9分）
即m²=

12k2+12

7

，故4k²-m²+3=4k²+3-

12k2+12

7

=

16k2+9

7

＞0，
所以|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+k2)(x1-x2)2

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

48 7 • 16k4+25k2+9 16k4+24k2+9

=

48 7 •(1+ k2 16k4+24k2+9 )

=

48 7 •(1+ 1 16k2+ 9 k2 +24 )

≤

7

．
当仅当16k²=

9

k2

，k=±

3

2

时，等号成立．
②若该直角三角形斜率不存在或斜率为0，则斜边长为

4 21

7

．
综上可知，观赏小道长度的最大值为2

7

（百米）．

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系、韦达定理的应用与弦长公式，同时考查了分类讨论，转化的思想和计算能力，属于难题．