Question

3．设F₁、F₂分别为椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F₂的直线l与椭圆C相交于A、B两点，直线l的倾斜角为60°，F₁到直线l的距离为2$\sqrt{3}$．
（1）求椭圆C的焦距；
（2）如果$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{{F}_{2}B}$，求椭圆C的方程．

Answer 1

分析 （1）利用点到直线的距离公式即可得出；
（2）由（1）可得：y=$\sqrt{3}$（x-2），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与椭圆方程联立可得根与系数的关系，由于$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{{F}_{2}B}$，可得x₁=6-2x₂．联立解出即可得出．

解答 解：（1）由题意可得：直线l的方程为：y=$\sqrt{3}$（x-c），
∵F₁到直线l的距离为2$\sqrt{3}$，∴$\frac{|-\sqrt{3}c-\sqrt{3}c|}{\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}}$=2$\sqrt{3}$，解得c=2．
∴椭圆C的焦距=2c=4．
（2）由（1）可得：y=$\sqrt{3}$（x-2），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}+4}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，化为：（4b²+12）x²-（12b²+48）x+（8b²+48-b⁴）=0，
∴x₁+x₂=$\frac{12{b}^{2}+48}{4{b}^{2}+12}$，x₁x₂=$\frac{8{b}^{2}+48-{b}^{4}}{4{b}^{2}+12}$．
∵$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{{F}_{2}B}$，
∴2-x₁=2（x₂-2），可得x₁=6-2x₂．
联立解得b²=5，a²=b²+c²=9．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$．

点评 本题考查了直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量的线性运算、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．