Question

11．已知椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），F₁、F₂是椭圆上的左、右两焦点且在x轴上．
（1）过椭圆的右焦点F₁作x轴的垂线交椭圆于P点，点A、B分别是椭圆与x轴负半轴、y轴正半轴的交点，且PF₂∥AB，求椭圆的离心率；
（2）过椭圆的右焦点F₂作x轴的垂线交椭圆于A、B两点，若$\overline{OA}$•$\overline{OB}$=0求椭圆的离心率．

Answer 1

分析 （1）由PF₂⊥x轴，先求出点P的坐标，再由PF₂∥AB，能得到b=2c，由此能求出椭圆的离心率．
（2）把x=c代入椭圆方程可得A（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），B（c，-$\frac{{b}^{2}}{a}$）．由$\overline{OA}$•$\overline{OB}$=0，可得c²-（$\frac{{b}^{2}}{a}$）²=0，即可求椭圆的离心率．

解答 解：（1）∵PF₂⊥x轴，∴点P的坐标（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），
k_AB=$\frac{b}{a}$，${k}_{P{F}_{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{2ac}$，
∵PF₂∥AB，
∴k_AB=${k}_{P{F}_{2}}$，即$\frac{b}{a}$=$\frac{{b}^{2}}{2ac}$，
整理，得b=2c，
∴a²=b²+c²=5c²，即a=$\sqrt{5}$c，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（2）把x=c代入椭圆方程可得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$．
取A（c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），B（c，-$\frac{{b}^{2}}{a}$）．
∵$\overline{OA}$•$\overline{OB}$=0，
∴c²-（$\frac{{b}^{2}}{a}$）²=0，
化为ac-（a²-c²）=0，
∴e²+e-1=0，0＜e＜1，
解得e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题考查椭圆的离心率，考查了推理能力与计算能力，解题时要熟练掌握椭圆的简单性质，属于中档题．