Question

3．已知实数c＞0，c≠1，设有两个命题：命题p：函数y=c^x是R上的单调减函数；命题q：对于?x∈R，不等式x²+x+$\frac{c}{2}$＞0恒成立．若命题p∨q为真，p∧q为假，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析 根据函数的性质求出命题p，q的等价条件，结合复合命题之间的关系进行求解即可．

解答 解：若函数y=c^x是R上的单调减函数，则0＜c＜1，
若对于?x∈R，不等式x²+x+$\frac{c}{2}$＞0恒成立，则判别式△=1-4×$\frac{c}{2}$=1-2c＜0，
即c＞$\frac{1}{2}$，
若p∨q为真，p∧q为假，
则p和q有且只有一个为真命题，则
（1）若p为真q为假，
则$\left\{\begin{array}{l}{0＜c＜1}\\{0＜c≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即0＜c≤$\frac{1}{2}$，
（2）q为真p为假，
则$\left\{\begin{array}{l}{c＞1}\\{c＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即c＞1，
∴综上所述，若p∨q为真，p∧q为假，则c的取值范围是0＜c≤$\frac{1}{2}$，或c＞1．

点评 本题主要考查复合命题真假之间的关系，求出命题的等价条件是解决本题的关键．