Question

在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF∥BC，BC=2AD=4，AE=BE=2，G是BC的中点．
（1）求证：AB∥平面DEG；
（2）求直线BD与平面BCFE所成角的正切值；
（3）求证：BD⊥EG．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的性质

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）先证明四边形ADGB是平行四边形，可得AB∥DG，从而证明AB∥平面DEG；
（2）过D作DH∥AE，交EF于H，连接BH，由线面垂直的性质和判定定理，即可得到DH⊥平面BCFE，则∠DBH是直线BD与平面BCFE所成角，求出DH，BH，即可得到所成角的正切；
（3）过D作DH∥AE交EF于H，则DH⊥平面BCFE，DH⊥EG，再证BH⊥EG，从而可证EG⊥平面BHD，故BD⊥EG．

解答： （1）证明：∵AD∥EF，EF∥BC，∴AD∥BC． 
又∵BC=2AD，G是BC的中点，∴AD∥BG，AD=BG，
∴四边形ADGB是平行四边形，∴AB∥DG．
∵AB?平面DEG，DG?平面DEG，∴AB∥平面DEG．
（2）解：过D作DH∥AE，交EF于H，连接BH，
由于AE⊥EB，又EF⊥平面AEB，则EF⊥AE，
则有AE⊥平面BCFE，则DH⊥平面BCFE，
则∠DBH是直线BD与平面BCFE所成角，
在三角形BDH中，DH=AE=2，BH=

BE2+EH2

=2

2

，
则tan∠DBH=

DH

BH

=

2

2

；
（3）证明：∵EF⊥平面AEB，AE?平面AEB，∴EF⊥AE，
又AE⊥EB，EB∩EF=E，EB，EF?平面BCFE，
∴AE⊥平面BCFE．
过D作DH∥AE交EF于H，则DH⊥平面BCFE．
∵EG?平面BCFE，∴DH⊥EG．
∵AD∥EF，DH∥AE，∴四边形AEHD平行四边形，
∴EH=AD=2，∴EH=BG=2，又EH∥BG，EH⊥BE，
∴四边形BGHE为正方形，∴BH⊥EG．
又BH∩DH=H，BH?平面BHD，DH?平面BHD，∴EG⊥平面BHD．
∵BD?平面BHD，∴BD⊥EG．

点评：本题考查证明线面平行、线线垂直的判定和性质定理及运用，考查直线和平面所成角的求法，考查推理能力，属于中档题．