Question

【题目】如图1，已知矩形ABCD中， ，点E是边BC上的点，且 ，DE与AC相交于点H．现将△ACD沿AC折起，如图2，点D的位置记为D'，此时 ．
（Ⅰ）求证：D'H⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角H﹣D'E﹣A的余弦值．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）在矩形ABCD中，因为 ，
所以 ，则∠EDC=∠ACB．
又因为 ，所以 ．
则 ，所以AC⊥DE，即D'H⊥AC．
又△CHE∽△AHD，且 ，所以 ， ．则 ，所以D'H⊥HE．
而直线AC与HE是平面ABC内的两条相交直线，所以D'H⊥平面ABC．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，HA，HE，HD'相互垂直，所以以H为坐标原点，HA，HE，HD'分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系H﹣xyz，
则 ， ，
所以 ， ．
设平面AED'的法向量为 =（x，y，z），则 ．取 ，则 ，
所以 =（ ， ， ）．
又平面HD'E的一个法向量为 =（1，0，0），设二面角H﹣D'E﹣A的平面角为θ，则cosθ= = ，所以二面角H﹣D'E﹣A的余弦值为 ．

【解析】（Ⅰ）推导出AC⊥DE，DH′⊥AC，D′H⊥HE，从而D′H⊥平面ABC；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，HA，HE，HD'相互垂直，所以以H为坐标原点，HA，HE，HD'分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系H﹣xyz，利用向量方法，求二面角H﹣D'E﹣A的余弦值．
【考点精析】利用直线与平面垂直的判定对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．