Question

已知点P（6，8）是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一点，F₁，F₂为椭圆的两焦点，若

PF1

•

PF2

=0，试求：
（1）椭圆的方程．
（2）求sin∠PF₁F₂的值．

Answer 1

分析：（1）利用数量积

PF1

•

PF2

=0，可得（-c-6）（c-6）+64=0，解得c．进而得到F₁，F₂，利用两点间的距离公式可得2a=|PF₁|+|PF₂|，再利用b²=a²-c²即可得出b²．
（2）如图所示，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则|PM|=8，|F₁M|=10+6=16，利用勾股定理可得|PF₁|，再利用sin∠PF₁F₂=

|PM|

|PF1|

即可得出．

解答：解：（1）∵

PF1

•

PF2

=0，
∴（-c-6）（c-6）+64=0，解得c=10．
∴F₁（-10，0），F₂（10，0），
∴2a=|PF1|+|PF2|=

(6+10)2+82

+

(6-10)2+82

=12

5

，
∴a=6

5

，b2=80．
∴椭圆方程为 

x2

180

+

y2

80

=1．
（2）如图所示，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则|PM|=8，|F₁M|=10+6=16，
∴|PF1|=

|PM|2+|F1M|2

=

162+82

=8

5

，
∴sin∠PF₁F₂=

|PM|

|PF1|

=

8

8 5

=

5

5

．

点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系、椭圆的定义域标准方程、勾股定理及其直角三角形的边角关系等基础知识与基本方法，属于基础题．