Question

定义域为R，且对任意实数x₁，x₂都满足不等式f（）≤的所有函数f（x）组成的集合记为M，例如，函数f（x）=kx+b∈M．
（1）已知函数f（x）=，证明：f（x）∈M；
（2）写出一个函数f（x），使得f（x）∉M，并说明理由；
（3）写出一个函数f（x）∈M，使得数列极限=1，=1．

Answer 1

【答案】分析：（1）分类讨论，验证f（）≤成立，即可得到结论；
（2）利用条件，构造函数f（x）=-x²，f（x）∉M，再取值验证即可；
（3）利用条件，构造函数f（x）=满足f（x）∈M，验证条件即可．
解答：解：（1）证明：由题意，当x₁≤x₂≤0或0≤x₁≤x₂时，f（）≤成立
设x₁≤0≤x₂，且＜0，
∵-f（）==
∴f（）≤成立
设x₁≤0≤x₂，且≥0，
∵-f（）==
∴f（）≤成立
∴综上所述，f（x）∈M；
（2）如函数f（x）=-x²，f（x）∉M
取x₁=-1，x₂=1，则=-1，f（）=0
此时f（）≤不成立；
（3）f（x）=满足f（x）∈M，且==1，==1．
点评：本题考查新定义，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．