科目：高中数学 来源：2009年高考数学文科(辽宁卷) 题型：044
设
f(x)＝ex(ax2＋x＋1)，且曲线y＝f(x)在x＝1处的切线与x轴平行．(1)求a的值，并讨论f(x)的单调性；
(2)证明：当
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科目：高中数学 来源：浙江省杭州市2010届高三科目教学质量检测数学理科试题 题型：044
设f(x)＝λ1(
x2＋x)＋λ2x·3x(a，b∈R，a＞0)
(1)当λ1＝1，λ2＝0时，设x1，x2是f(x)的两个极值点，
①如果x1＜1＜x2＜2，求证：
(－1)＞3；
②如果a≥2，且x2－x1＝2且x∈(x1，x2)时，函数g(x)＝(x)＋2(x－x2)的最小值为h(a)，求h(a)的最大值．
(2)当λ1＝0，λ2＝1时，
①求函数y＝f(x)－3(ln3＋1)x的最小值．
②对于任意的实数a，b，c，当a＋b＋c＝3时，求证3aa＋3bb＋3cc≥9
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科目：高中数学 来源：2011-2012学年河北省高三8月月考理科数学试卷（解析版） 题型：解答题
已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若过点A(2，m)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数m的取值范围．
【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用。第一问，利用函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx在x＝±1处取得极值，且在x＝0处的切线的斜率为－3，得到c＝－3 ∴a＝1, f(x)＝x3－3x
(2)中设切点为(x0，x03－3x0)，因为过点A(2，m)，所以∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)分离参数∴m＝－2x03＋6x02－6
然后利用g(x)＝－2x3＋6x2－6函数求导数，判定单调性，从而得到要是有三解，则需要满足－6<m<2
解：(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c
依题意
又f′(0)＝－3
∴c＝－3 ∴a＝1 ∴f(x)＝x3－3x
(2)设切点为(x0，x03－3x0)，
∵f′(x)＝3x2－3，∴f′(x0)＝3x02－3
∴切线方程为y－(x03－3x0)＝(3x02－3)(x－x0)
又切线过点A(2，m)
∴m－(x03－3x0)＝(3x02－3)(2－x0)
∴m＝－2x03＋6x02－6
令g(x)＝－2x3＋6x2－6
则g′(x)＝－6x2＋12x＝－6x(x－2)
由g′(x)＝0得x＝0或x＝2
∴g(x)在(－∞，0)单调递减，(0,2)单调递增，(2，＋∞)单调递减．
∴g(x)极小值＝g(0)＝－6，g(x)极大值＝g(2)＝2
画出草图知，当－6<m<2时，m＝－2x3＋6x2－6有三解，
所以m的取值范围是(－6,2)．
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科目：高中数学 来源：2013届福建省泉州市高二下学期期中文科数学试卷（解析版） 题型：解答题
已知
，设
和
是方程
的两个根，不等式
对任意实数
恒成立；
函数
有两个不同的零点.求使“P且Q”为真命题的实数
的取值范围.
【解析】本试题主要考查了命题和函数零点的运用。由题设x1＋x2＝a，x1x2＝－2，
∴|x1－x2|＝
＝
.
当a∈[1,2]时，的最小值为3. 当a∈[1,2]时，的最小值为3.
要使|m－5|≤|x1－x2|对任意实数a∈[1,2]恒成立，只须|m－5|≤3，即2≤m≤8.
由已知，得f(x)＝3x2＋2mx＋m＋
＝0的判别式
Δ＝4m2－12(m＋)＝4m2－12m－16>0，
得m<－1或m>4.
可得到要使“P∧Q”为真命题，只需P真Q真即可。
解：由题设x1＋x2＝a，x1x2＝－2，
∴|x1－x2|＝＝.
当a∈[1,2]时，的最小值为3.
要使|m－5|≤|x1－x2|对任意实数a∈[1,2]恒成立，只须|m－5|≤3，即2≤m≤8.
由已知，得f(x)＝3x2＋2mx＋m＋＝0的判别式
Δ＝4m2－12(m＋)＝4m2－12m－16>0，
得m<－1或m>4.
综上，要使“P∧Q”为真命题，只需P真Q真，即
解得实数m的取值范围是(4,8]
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且f(2)＝1，则f(f(
))的值为
