Question

4．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cosx，1），向量$\overrightarrow{b}$=（cosx，$\sqrt{3}$sin 2x），设函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，x∈R．
（I）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）当x∈[$-\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （I）利用二倍角公式与和角公式对f（x）进行化简；
（II）根据x的范围得出2x+$\frac{π}{6}$的范围，结合正弦函数的性质得出f（x）的最值．

解答 解：（I）f（x）=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1．
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
（II）∵x∈[$-\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]．
∴当2x+$\frac{π}{6}$=$-\frac{π}{6}$时，f（x）取得最小值0，当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最大值3．
∴函数f（x）的值域是[0，3]．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数求值，属于基础题．