Question

【题目】如图，已知椭圆 （a＞b＞0）的离心率为 ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1 ， F2为顶点的三角形的周长为 ．一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D．

（1）求椭圆和双曲线的标准方程；
（2）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2 ， 证明k1k2=1；
（3）探究 是否是个定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：设椭圆的半焦距为c，由题意知： ，2a+2c=4（ +1）

解得a=2 ，c=2，

又a2=b2+c2，解得b=2．

故椭圆的标准方程为

由题意设等轴双曲线的标准方程为 （m＞0），

因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点．

所以m=2，

因此双曲线的标准方程为

（2）证明：设P（x0，y0），F1（﹣2，0），F2（2，0）

则k1= ， ．

因为点P在双曲线x2﹣y2=4上，所以 ．

因此 ，

故k1k2=1．

（3）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），

由于PF1的方程为y=k1（x+2），将其代入椭圆方程得

所以 ，

所以 = =

同理可得 ．

则 ，

又k1k2=1，

所以 = ．

故 恒成立，即 是定值

【解析】（1）由椭离心率为 ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1 ， F2为顶点的三角形的周长为 ，求出a，b，从而能求出椭圆的标准方程，设等轴双曲线的标准方程为 ，由等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，求出m，从而能求出双曲线的标准方程．（2）设P（x0 ， y0），F1（﹣2，0），F2（2，0），则k1= ， ，由此能证明k1k2=1．（3）PF1的方程为y=k1（x+2），将其代入椭圆方程得 ，由此利用韦达定理、弦长公式，结合已知条件能推导出 是定值．