Question

已知f（x）为一次函数，且满足4f（1-x）-2f（x-1）=3x+18，求函数f（x）在[-1，1]上的最大值，并比较f（2011）与f（2012）的大小．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：令t=1-x，则-t=x-1，且x=1-t，则有4f（t）-2f（-t）=21-3t，所以4f（x）-2f（-x）=21-3x①，于是用-x代替x代入上式可得4f（-x）-2f（x）=21+3x②，然后求出函数的解析式，根据一次函数的性质得当x=-1时，函数f（x）有最大值f（-1）=11；f（2010）＞f（2011）．

解答： 解：令t=1-x，则-t=x-1，且x=1-t
∵4f（1-x）-2f（x-1）=3x+18，
∴4f（t）-2f（-t）=3（1-t）+18，
即4f（t）-2f（-t）=21-3t，
∴4f（x）-2f（-x）=21-3x①，
用-x代替x代入上式得4f（-x）-2f（x）=21+3x②，
由②+①×2，
6f（x）=63-3x，
即f（x）=-

1

2

x+

21

2

，
∴当x=-1时，函数f（x）有最大值f（-1）=11，
∵f（x）为减函数，
∴f（2011）＞f（2012）．

点评：本题考查了一次函数y=kx+b的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．