Question

【题目】已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）， 的最小正周期为π，且图象关于x= 对称．
（1）求ω和φ的值；
（2）将函数f（x）的图象上所有横坐标伸长到原来的4倍，再向右平移 个单位得到函数g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间以及g（x）≥1的x取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知可得 ，∴ω=2，

又f（x）的图象关于 对称，

∴ ，∴ ，∵ ，∴

（2）解：由（1）可得 ，

∵将函数f（x）的图象上所有横坐标伸长到原来的4倍，

再向右平移 个单位得到函数g（x）的图象，∴ ．

由 ，得 ，

故g（x）的单调递增区间为 ，k∈Z．

由g（x）≥1，可得 ，∴ ，

∴ ，k∈Z，

即要求的x的取值范围为{x| ，k∈Z }

【解析】（1）由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由图象的对称性求出φ的值，可得函数的解析式．（2）利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，利用正弦函数的单调性求得g（x）的单调递增区间，利用正弦函数的图象求得g（x）≥1的x取值范围．
【考点精析】通过灵活运用正弦函数的单调性和函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，掌握正弦函数的单调性：在上是增函数；在上是减函数；图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象即可以解答此题．