精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
(文科做)已知平面α面β,AB、CD为异面线段,AB?α,CD?β,且AB=a,CD=b,AB与CD所成的角为θ,平面γ面α,且平面γ与AC、BC、BD、AD分别相交于点M、N、P、Q.
(1)若a=b,求截面四边形MNPQ的周长;
(2)求截面四边形MNPQ面积的最大值.
(1)∵平面α面β,平面ABC∩α=AB,
平面ABC∩β=MN,
∴ABMN,
同理PQAB,有PQMN,同理NPMQ,
∴四边形MNPQ是一个平行四边形,
NP
CD
=
BP
BD
PQ
AB
=
DP
BD

NP
CD
+
PQ
AB
=
BP+DP
BD
=1

∵AB=CD=a,
∴NP+PQ=a,即四边形的周长是2a.
(2)设AC=c,CM=x,
由MNAB,得MN=
x
c
a
,同理MQ=
c-x
c
a

又AB与CD所成的角为θ,∴sin∠NMQ=sinθ
∴四边形的面积是s=2×
1
2
x
c
•a•
c-x
c
•b•sinθ

=
ab
c2
[-(x-
c
2
)
2
+
c2
4
]sinθ

∴当x=
c
2
时,s的最大值是
ab
4
sinθ

此时M为AC的中点.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是AA1的中点.
(1)求CAl与底面ABCD所成角的正切值;
(2)证明A1C平面BDE.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,已知在侧棱垂直于底面三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,AB=5,cos∠CAB=
3
5
,AA1=4,点D是AB的中点.
(1)求证:AC⊥BC1
(2)求证:AC1平面CDB1
(3)求三棱锥A1-B1CD的体积.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,DCAB,∠BAD=90°,且AB=2AD=2DC=2PD=4(单位:cm),E为PA的中点.
(1)证明:DE平面PBC;
(2)证明:DE⊥平面PAB.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

长方体ABCD-A1B1C1D1中AB=1,AA1=AD=2.点E为AB中点.
(1)求三棱锥A1-ADE的体积;
(2)求证:A1D⊥平面ABC1D1
(3)求证:BD1平面A1DE.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AA1,BB1的中点.
(1)求证:平面A1BC1平面ACD1
(2)求异面直线A1F与D1E所成的角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,点P为DD1的中点.
(1)求证:直线BD1平面PAC;
(2)求证:平面PAC⊥平面BDD1
(3)求证:直线PB1⊥平面PAC.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,AD=CD=
6
,∠BAC=60°,E为AC的中点;现将△ACD沿对角线AC折起,使点D在平面ABC上的射影H落在BC上.
(1)求证:AB⊥平面BCD;
(2)求三棱锥D-ABE的体积.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,ABCD,AD⊥DC,PD=AD=DC=2AB,则异面直线PA与BC所成角的余弦值为(  )
A.
15
5
B.
10
5
C.-
10
5
D.
10
4

查看答案和解析>>

同步练习册答案