Question

定义在R上的函数满足f（x+y）=f（x）+f（y），且在区间（0，+∞）上单调递增，若实数a满足2f（log₂a）+f（log 

1

2

a）≤f（1），则a的取值范围是（　　）

• A、[1，2]
• B、（0，

  1

  2

  ]
• C、（0，2]
• D、（-∞，2]

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,对数的运算性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由已知条件令x=y有，f（2x）=2f（x），令x=y=0，求得f（0）=0，再令y=-x，求出f（x）为奇函数，由于f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，则f（x）在R上是递增函数，将所求不等式化简为f（2log₂a-log₂a）≤f（1）．再由单调性即可求得a的范围．

解答： 解：由于f（x+y）=f（x）+f（y），
则令x=y有，f（2x）=2f（x），
令x=y=0，则f（0）=2f（0），即f（0）=0，
再令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）=0，即f（x）为奇函数，
由于f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，
则f（x）在R上是递增函数，
故2f（log₂a）+f（log 

1

2

a）≤f（1），
即为f（2log₂a）+f（-log₂a）≤f（1），
即有f（2log₂a-log₂a）≤f（1）．
则log₂a≤1，解得0＜a≤2．
故选C．

点评：本题考查抽象函数及运用，考查函数的奇偶性、单调性及运用，考查对数的有关运算，属于中档题．