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(2012•道里区二模)过抛物线x2=4y上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于点P(x0,y0),
PA
PB
=0

(1)求y0
(2)求证:直线AB恒过定点;
(3)设(2)中直线AB恒过定点F,是否存在实数λ,使
FA
FB
+λ(
FP
)2=0
恒成立?若存在,求出λ的值,若不存在,请说明理由.
分析:(1)设A,B的坐标,求得直线PA、PB的方程,利用
PA
PB
=0
,可得y0
(2)求出直线AB的方程,令x=0,结合(1)的结论,即可证得直线AB恒过定点;
(3)利用坐标表示向量,结合数量积公式,即可得到结论.
解答:(1)解:设A(x1
x
2
1
4
)
B(x2
x
2
2
4
)
,(x1≠x2).
由x2=4y,得:y=
x
2
,∴kPA=
x1
2
kPB=
x2
2

PA
PB
=0
,∴PA⊥PB,∴x1x2=-4.
直线PA的方程是:y-
x
2
1
4
=
x1
2
(x-x1)
,即y=
x1x
2
-
x
2
1
4
.①
同理,直线PB的方程是:y=
x2x
2
-
x
2
2
4
.②
由①②得:y0=
x1x2
4
=-1
,(x1,x2∈R).…(4分)
(2)证明:由(1)可得直线AB的方程为y-
x
2
1
4
=
x
2
2
4
-
x
2
1
4
x2-x1
(x-x1)

令x=0,可得y-
x
2
1
4
=
x2+x1
4
•(-x1)

x1x2
4
=-1
,∴y=1
∴直线AB恒过点(0,1)…(8分)
(3)解:由(1)得:
FA
=(x1
x
2
1
4
-1)
FB
=(x2
x
2
2
4
-1)
,x1x2=-4,
FA
FB
=x1x2+(
x
2
1
4
-1)(
x
2
2
4
-1)=-2-
x
2
1
+
x
2
2
4

P=(
x1+x2
2
,-1)
,∴
FP
=(
x1+x2
2
,-2)

(
FP
)2=
(x1+x2)2
4
+4=
x
2
1
+
x
2
2
4
+2

FA
FB
+(
FP
)2=0

故存在λ=1使得
FA
FB
+λ(
FP
)2=0
.…(12分)
点评:本题考查直线与抛物线的位置关系,考查直线恒过定点,考查向量知识的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
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