Question

设点F₁（-c，0）、F₂（c，0）分别是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的左右焦点，P为双曲线上的一点，且

PF1

•

PF2

=-

2c2

3

，则此双曲线的离心率的取值范围是

[

3

，+∞）

．

Answer 1

分析：设P（m，n），得

PF1

•

PF2

=m²-c²+n²=-

2

3

c²，整理得：m²+n²=

1

3

c²…（1）．根据点P（m，n）是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1上的点，得n²=b²（

m2

a2

-1），代入（1）式并整理得：

c2

a2

m²=

4

3

c²-a²…（2）．最后根据m满足m²≥a²，代入（2）式解关于a、c的不等式，得c≥

3

a，由此即可得出此双曲线的离心率的取值范围．

解答：解：设P（m，n），得

PF1

=(-c-m，-n)，

PF2

=(c-m，-n)
∴

PF1

•

PF2

=（-c-m）（c-m）+n²=-

2

3

c²，即m²+n²=

1

3

c²，…（1）
∵P（m，n）是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1上的点，
∴

m2

a2

-

n2

b2

=1，解得n²=b²（

m2

a2

-1），代入（1）式得

c2

a2

m²-b²=

1

3

c²，整理得：

c2

a2

m²=

4

3

c²-a²，…（2）
∵点P在双曲线上，横坐标满足|m|≥a
∴m²≥a²，代入（2）式，得

4

3

c²-a²≥

c2

a2

•a²=c²
化简，得

1

3

c2≥a²，所以c≥

3

a，
因此双曲线的离心率e=

c

a

≥

3

，得e∈[

3

，+∞）
故答案为：[

3

，+∞）

点评：本题给出双曲线上点P指向两个焦点F₁、F₂的向量的数量积，求此双曲线离心率的取值范围，着重考查了向量数量积的公式和双曲线的简单几何性质等知识，属于中档题．