【题目】已知函数 .
(1)讨论函数在定义域内的极值点的个数;
(2)若函数在处取得极值,且对任意, 恒成立,求实数的取值范围;
(3)当时,求证: .
【答案】(1)答案见解析;(2) ;(3)证明见解析.
【解析】试题分析:
(1)由题意可得,分类讨论有:当时,函数没有极值点,
当时,函数有一个极值点.
(2)由题意可得,原问题等价于恒成立,讨论函数的性质可得实数的取值范围是;
(3)原问题等价于,继而证明函数在区间内单调递增即可.
试题解析:
(1),
当时, 在上恒成立,
函数在单调递减,∴在上没有极值点;
当时, 得, 得,
∴在上递减,在上递增,即在处有极小值.
∴当时在上没有极值点,
当时,在上有一个极值点.
(2)∵函数在处取得极值,∴,
∴,
令, ,
可得在上递减,在上递增,
∴,即.
(3)证明:,
令,则只要证明在上单调递增,
又∵,
显然函数在上单调递增.
∴,即,
∴在上单调递增,即,
∴当时,有.
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【题目】[选修4-4:坐标系与参数方程]
在直角坐标系中,过点的直线的参数方程为(为参数).以原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)若直线与曲线相交于, 两点,求的值.
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【题目】符号表示不大于的最大整数(),例如:
(1)已知,分别求两方程的解集;
(2)设方程的解集为,集合,若,求的取值范围.
(3)在(2)的条件下,集合,是否存在实数,,若存在,请求出实数的取值范围;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.
(1)求M的轨迹方程;
(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.
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【题目】(1)求证: .
(2)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:
sin213°+cos217°-sin13°cos17°;
sin215°+cos215°-sin15°cos15°;
sin218°+cos212°-sin18°cos12°;
sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos48°;
sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos55°.
①试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;
②根据①的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式.
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【题目】如图,在四棱锥中,平面ABCD,底部ABCD为菱形,E为CD的中点.
(Ⅰ)求证:BD⊥平面PAC;
(Ⅱ)若∠ABC=60°,求证:平面PAB⊥平面PAE;
(Ⅲ)棱PB上是否存在点F,使得CF∥平面PAE?说明理由.
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