Question

【题目】已知直线l：y=4x和点P（6，4），点A为第一象限内的点且在直线l上，直线PA交x轴正半轴于点B，
（1）当OP⊥AB时，求AB所在直线的直线方程；
（2）求△OAB面积的最小值，并求当△OAB面积取最小值时的B的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵点P（6，4），∴kOP= ，

∵OP⊥AB，∴kAB= ，

∵AB过点P（6，4），

∴AB的方程为y﹣4= （x﹣6）

化为一般式可得：3x+2y﹣26=0

（2）解：设点A（a 4a），a＞0，点B坐标为（b，0），b＞0，

则直线PA的斜率为 = ，解得b= ，故B的坐标为（ ，0），

故△OAB面积为S= × ×4a= ，即10a2﹣Sa+S=0．

由题意可得方程10a2﹣Sa+S=0有解，故判别式△=S2﹣40S≥0，S≥40，

故S的最小值等于40，此时方程为a2﹣4a=4=0，解得a=2．

综上可得，△OAB面积的最小值为40，

当△OAB面积取最小值时点B的坐标为（10，0）．

【解析】（1）由垂直关系可得kAB= ，由AB过点P（6，4）可得点斜式方程，化为一般式可得；（2）设点A（a 4a），a＞0，点B坐标为（b，0），b＞0，可得△OAB面积为S= × ×4a= ，即10a2﹣Sa+S=0，由判别式△=S2﹣40S≥0可得S≥40，即S的最小值等于40，代入解此时的方程可得B坐标．
【考点精析】本题主要考查了一般式方程的相关知识点，需要掌握直线的一般式方程：关于的二元一次方程（A，B不同时为0）才能正确解答此题．