【题目】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点.
(1)证明:平面AED⊥平面A1FD1;
(2)在AE上求一点M,使得A1M⊥平面DAE.
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
(1) 证明建立空间直角坐标系D-xyz,不妨设正方体的棱长为2,
则A(2,0,0),E(2,2,1),F(0,1,0),A1(2,0,2),D1(0,0,2).求出平面AED的法向量为n1
平面A1FD1的法向量n2,由n1·n2=0即可得证.
(2)因为点M在直线AE上,所以可设=λ·
=λ·(0,2,1)=(0,2λ,λ),可得M(2,2λ,λ),于是
=(0,2λ,λ-2),要使A1M⊥平面DAE,需有A1M⊥AE,即可求出λ
从而确定点M.
(1) 证明建立空间直角坐标系D-xyz,不妨设正方体的棱长为2,
则A(2,0,0),E(2,2,1),F(0,1,0),A1(2,0,2),D1(0,0,2).
设平面AED的法向量为n1=(x1,y1,z1),则
∴2x1=0,2x1+2y1+z1=0.
令y1=1,得n1=(0,1,-2).
同理可得平面A1FD1的法向量n2=(0,2,1).
因为n1·n2=0,所以平面AED⊥平面A1FD1.
(2)因为点M在直线AE上,所以可设=λ·
=λ·(0,2,1)=(0,2λ,λ),可得M(2,2λ,λ),
于是=(0,2λ,λ-2),要使A1M⊥平面DAE,需有A1M⊥AE,
所以=(0,2λ,λ-2)·(0,2,1)=5λ-2=0,得λ=
.故当AM=
AE时,A1M⊥平面DAE.
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【题目】某人事部门对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计,绘制的频率分布直方图如图所示.规定80分以上者晋级成功,否则晋级失败(满分为100分).
(1)求图中的值;
(2)估计该次考试的平均分 (同一组中的数据用该组的区间中点值代表);
(3)根据已知条件完成下面2×2列联表,并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关.
晋级成功 | 晋级失败 | 合计 | |
男 | 16 | ||
女 | 50 | ||
合计 |
参考公式:,其中
0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
0.780 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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【题目】设a∈Z,已知定义在R上的函数f(x)=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间(1,2)内有一个零点x0 , g(x)为f(x)的导函数.
(Ⅰ)求g(x)的单调区间;
(Ⅱ)设m∈[1,x0)∪(x0 , 2],函数h(x)=g(x)(m﹣x0)﹣f(m),求证:h(m)h(x0)<0;
(Ⅲ)求证:存在大于0的常数A,使得对于任意的正整数p,q,且 ∈[1,x0)∪(x0 , 2],满足|
﹣x0|≥
.
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【题目】已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5 .
(Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)求和:b1+b3+b5+…+b2n﹣1 .
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【题目】若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M﹣m( )
A.与a有关,且与b有关
B.与a有关,但与b无关
C.与a无关,且与b无关
D.与a无关,但与b有关
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【题目】已知a,b为异面直线,且所成的角为70°,过空间一点作直线l,直线l与a,b均异面,且所成的角均为50°,则满足条件的直线共有( ) 条
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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