Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，D、E分别为A₁B₁、AA₁的中点，点F在棱AB上，且．
（Ⅰ）求证：EF∥平面BDC₁；
（Ⅱ）在棱AC上是否存在一个点G，使得平面EFG将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15，若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

证明：（I）取AB的中点M，∵，∴F为AM的中点，
又∵Q为AA₁的中点，∴EF∥A₁M
在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，M分别为A₁B₁，AB的中点，
∴A₁D∥BM，A₁D=BM，
∴A₁DBM为平行四边形，∴AM∥BD
∴EF∥BD．
∵BD?平面BC₁D，EF?平面BC₁D，
∴EF∥平面BC₁D．
（II）设AC上存在一点G，使得平面EFG将三棱柱分割成两部分的体积之比为1：15，
则，
∵=
=
∴，∴，
∴AG=．
所以符合要求的点G不存在．
分析：（I）取AB的中点M，根据，得到F为AM的中点，又Q为AA₁的中点，根据三角形中位线定理得EF∥A₁M，从而在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁DBM为平行四边形，进一步得出EF∥BD．最后根据线面平行的判定即可证出EF∥平面BC₁D．
（II）对于存在性问题，可先假设存在，即假设在棱AC上存在一个点G，使得平面EFG将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15，再利用棱柱、棱锥的体积公式，求出AG与AC的比值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
点评：本题考查线面平行，考查棱柱、棱锥、棱台的体积的计算，解题的关键是利用线面平行的判定证明线面平行，属于中档题．