Question

12．已知函数f（x）=sinx，g（x）=e^x•f′（x），（e为自然对数的底数）．
（1）求函数g（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的单调区间；
（2）若对任意x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，不等式g（x）≥x•f（x）+m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据导数和函数的单调性的关系即可求出；
（2）不等式g（x）≥x•f（x）+m恒成立分离参数，构造函数，求出函数的最小值即可．

解答 解：（1）依题意得：g（x）=e^x•cosx，g'（x）=e^x（cosx-sinx），
∴$x∈[0，\frac{π}{4}]，g'（x）＞0，x∈（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]，g'（x）＜0$．
所以函数单调递增区间为$[0，\frac{π}{4}]$，单调递减区间为$（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]$．   
（2）等价于对任意$x∈[{-\frac{π}{2}，0}]$，m≤[g（x）-x•f（x）]_min．
设h（x）=g（x）-x•f（x），$x∈[{-\frac{π}{2}，0}]$．
则h'（x）=e^xcosx-e^xsinx-sinx-xcosx=（e^x-x）cosx-（e^x+1）sinx
因为$x∈[{-\frac{π}{2}，0}]$，所以（e^x-x）cosx≥0，（e^x+1）sinx≤0，
所以h'（x）＞0，故h（x）在$[{-\frac{π}{2}，0}]$单调递增，
因此当$x=-\frac{π}{2}$时，函数h（x）取得最小值$h（{-\frac{π}{2}}）=-\frac{π}{2}$；
所以$m≤-\frac{π}{2}$，即实数m的取值范围是$（{-∞，-\frac{π}{2}}]$．

点评 本题考查了导数和函数的单调性，最值的关系，以及不等式恒成立的问题，关键是分离参数，构造函数，属于中档题．