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12.已知函数f(x)=sinx,g(x)=ex•f′(x),(e为自然对数的底数).
(1)求函数g(x)在[0,$\frac{π}{2}$]上的单调区间;
(2)若对任意x∈[-$\frac{π}{2}$,0],不等式g(x)≥x•f(x)+m恒成立,求实数m的取值范围.

分析 (1)根据导数和函数的单调性的关系即可求出;
(2)不等式g(x)≥x•f(x)+m恒成立分离参数,构造函数,求出函数的最小值即可.

解答 解:(1)依题意得:g(x)=ex•cosx,g'(x)=ex(cosx-sinx),
∴$x∈[0,\frac{π}{4}],g'(x)>0,x∈(\frac{π}{4},\frac{π}{2}],g'(x)<0$.
所以函数单调递增区间为$[0,\frac{π}{4}]$,单调递减区间为$(\frac{π}{4},\frac{π}{2}]$.   
(2)等价于对任意$x∈[{-\frac{π}{2},0}]$,m≤[g(x)-x•f(x)]min
设h(x)=g(x)-x•f(x),$x∈[{-\frac{π}{2},0}]$.
则h'(x)=excosx-exsinx-sinx-xcosx=(ex-x)cosx-(ex+1)sinx
因为$x∈[{-\frac{π}{2},0}]$,所以(ex-x)cosx≥0,(ex+1)sinx≤0,
所以h'(x)>0,故h(x)在$[{-\frac{π}{2},0}]$单调递增,
因此当$x=-\frac{π}{2}$时,函数h(x)取得最小值$h({-\frac{π}{2}})=-\frac{π}{2}$;
所以$m≤-\frac{π}{2}$,即实数m的取值范围是$({-∞,-\frac{π}{2}}]$.

点评 本题考查了导数和函数的单调性,最值的关系,以及不等式恒成立的问题,关键是分离参数,构造函数,属于中档题.

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