Question

对于任意定义在R上的函数f（x ），若实数x₀满足f（x ₀）=x ₀，则称x₀是函数f（x ）的一个不动点，若函数f（x ）=ax²+（2a-3）x+1恰有一个不动点，则实数a的取值集合是

{0，1，4}

．

Answer 1

分析：不动点实际上就是方程f（x₀）=x₀的实数根．二次函数f（x ）=ax²+（2a-3）x+1恰有一个不动点，是指方程x=ax²+（2a-3）x+1恰有两个相等的实根，即方程ax²+（2a-4）x+1=0恰有两个相等的实根，可以根据根的判别式△=0解答即可．

解答：解：根据题意，得
x=ax²+（2a-3）x+1恰有两个相等的实根，
即方程ax²+（2a-4）x+1=0恰有两个相等的实根，
∴当a≠0时
△=（2a-4）²-4a=0，
解之得：a=1或a=4；
当a=0时，显然也符合题
综上所述，实数a的取值集合是{0，1，4}
故答案为：{0，1，4}

点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、函数与方程的综合运用，解答该题时，借用了一元二次方程的根的判别式与根这一知识点．