【题目】已知函数。
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)若函数在上是减函数,求实数的取值范围。
【答案】(1) 函数f(x)的单调递减区间是(0, );单调递增区间是(,+∞);(2) a≤-.
【解析】试题分析:(Ⅰ)先求出函数的导数,再通过讨论a的范围,从而求出其单调区间,(Ⅱ)由g(x)=+x2+2aln x得g′(x)=-+2x+,建立新函数,求出其最小值,解出即可.
试题解析:
(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞).
①当a≥0时,f′(x)>0,f(x)的单调递增区间为(0,+∞);
②当a<0时,f′(x)=.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下:
x | (0, ) | (,+∞) | |
f′(x) | - | 0 | + |
f(x) | 极小值 |
由上表可知,函数f(x)的单调递减区间是(0, );单调递增区间是(,+∞).
(Ⅱ )由g(x)=+x2+2aln x,得g′(x)=-+2x+,
由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数,则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立,
即-+2x+≤0在[1,2]上恒成立.即a≤-x2在[1,2]上恒成立.
令,则h′(x)=--2x=-(+2x)
,所以h(x)在[1,2]上为减函数,
h(x)min=h(2)=-, 所以a≤-.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面是直角梯形,侧棱底面, 垂直于和, , , 是棱的中点.
(Ⅰ)求证: 平面;
(Ⅱ)求平面与平面所成的二面角的余弦值;
(Ⅲ)设点是直线上的动点, 与平面所成的角为,求的最大值.
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【题目】某学校团委组织了“文明出行,爱我中华”的知识竞赛,从参加考试的学生中抽出60名学生,将其成绩(单位:分)整理后,得到如图频率分布直方图(其中分组区间为[40,50),[50,60),…,[90,100]).
(1)求成绩在[70,80)的频率和[70,80)这组在频率分布直方图中的纵坐标a的值;
(2)求这次考试平均分的估计值.
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【题目】当今信息时代,众多高中生也配上了手机.某校为研究经常使用手机是否对学习成绩有影响,随机抽取高三年级50名理科生的一次数学周练成绩,并制成下面的列联表:
及格 | 不及格 | 合计 | |
很少使用手机 | 20 | 6 | 26 |
经常使用手机 | 10 | 14 | 24 |
合计 | 30 | 20 | 50 |
(1)判断是否有的把握认为经常使用手机对学习成绩有影响?
(2)从这50人中,选取一名很少使用手机的同学记为甲和一名经常使用手机的同学记为乙,解一道数学题,甲、乙独立解出此题的概率分别为,且 ,若,则此二人适合结为学习上互帮互助的“学习师徒”,记为两人中解出此题的人数,若的数学期望,问两人是否适合结为“学习师徒”?
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
参考公式及数据: ,其中.
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【题目】设函数f(x)= ,g(x)=a(x+b)(0<a≤1,b≤0).
(1)讨论函数y=f(x)g(x)的奇偶性;
(2)当b=0时,判断函数y= 在(﹣1,1)上的单调性,并说明理由;
(3)设h(x)=|af2(x)﹣ |,若h(x)的最大值为2,求a+b的取值范围.
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【题目】已知焦点在轴上的椭圆的中心是原点,离心率为双曲线离心率的一半,直线被椭圆截得的线段长为.直线: 与轴交于点,与椭圆交于两个相异点,且.
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在实数,使?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由.
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