Question

（2007•金山区一模）设a为实数，函数f（x）=x|x-a|，其中x∈R．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；
（2）写出函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）讨论a=0时与a≠0时的奇偶性，然后定义定义进行证明即可；
（2）讨论a的符号，然后去掉绝对值利用分段函数表示，分别求出函数的单调递增区间．

解答：解：（1）当a=0时，f（x）=x|x|，所以f（x）为奇函数…（1分）
因为定义域为R关于原点对称，且f（-x）=-x|-x|=-f（x），所以f（x）为奇函数．…（3分）
当a≠0时，f（x）=x|x-a|为非奇非偶函数，…（4分）
f（a）=0，f（-a）=-a|2a|，所以f（-a）≠f（a），f（-a）≠-f（a）
所以f（x）是非奇非偶函数．…（6分）
（2）当a=0时，f(x)=

x2 x≥0 -x2 x＜0

，f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）；…（8分）
当a＞0时，f(x)=

x2-ax x≥a -x2+ax x＜a

f（x）的单调递增区间为(-∞，

a

2

)和（a，+∞）；…（10分）
f（x）的单调递减区间为(

a

2

，a)；…（12分）
当a＜0时，f(x)=

x2-ax x≥a -x2+ax x＜a

f（x）的单调递增区间为（-∞，a）和(

a

2

，+∞)；…（14分）
f（x）的单调递减区间为(a，

a

2

)…（16分）

点评：本题主要考查了函数的奇偶性的判定，以及函数的单调性的判定，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题．