Question

已知椭圆=1（a＞b＞0），，c为半焦距．过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．
（1）求椭圆的方程．
（2）（理）已知定点E（-1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
（文）若直线y=x+k（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使OC⊥OD（O为原点）？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）直线AB方程为：bx-ay-ab=0．依题意解得 ，由此能求出椭圆方程．
（2）假若存在这样的k值，由得（1+3k²）x²+12kx+9=0．△=（12k）²-36（1+3k²）＞0．设C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），则，由此入手能够求出存在，使得以CD为直径的圆过点E．
（文科）假若存在这样的k值，由得4x²+6kx+3k²-3=0．△=（6k）²-4×4（3k²-3）＞0．设C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），则．由此入手，能够求出存在，使得OC⊥OD．
解答：解：（1）直线AB方程为：bx-ay-ab=0．
依题意解得
∴椭圆方程为 ．
（2）（理科）假若存在这样的k值，由得（1+3k²）x²+12kx+9=0．
∴△=（12k）²-36（1+3k²）＞0． ①
设C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），则②
而y₁•y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4．
要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且仅当CE⊥DE时，则，即y₁y₂+（x₁+1）（x₂+1）=0．
∴（k²+1）x₁x₂+（2k+1）（x₁+x₂）+5=0． ③
将②式代入③整理解得．经验证，，使①成立．
综上可知，存在，使得以CD为直径的圆过点E．
（文科）假若存在这样的k值，由得4x²+6kx+3k²-3=0．
∴△=（6k）²-4×4（3k²-3）＞0．          ①
设C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），则②
而y₁•y₂=（x₁+k）（x₂+k）=x₁x₂+k（x₁+x₂）+k²．
由OC⊥OD知，即 x₁x₂+y₁y₂=0．
∴2x₁x₂+k（x₁+x₂）+k²=0． ③
将②式代入③整理解得．经验证使①成立．
综上可知，存在，使得OC⊥OD．
点评：本题考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．