Question

已知数列满足：，数列满足.
（1）若是等差数列，且求的值及的通项公式；
（2）若是公比为的等比数列，问是否存在正实数，使得数列为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（3）若是等比数列，求的前项和（用n,表示）.

Answer 1

（1），（2）不存在正实数，使得数列为等比数列
（3）

试题分析：（1）因为是等差数列，，　　　　　　　　       
， 解之得或者（舍去）　 3分
．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分
（2）因为是公比为的等比数列，所以，　
若为等比数列，则，　　　　　　　　 6分
，即， 　　　　　　
，无解．不存在正实数，使得数列为等比数列． 8分
另解：因为是公比为的等比数列，，，
若为等比数列，则，，　　　　　　
，无解，不存在正实数，使得数列为等比数列．
（3）若是等比数列，其中公比，，
，　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10分
，当时，　　 12分
当时，   ①
①  ②     14分
①-②得，（1-）

=  
综上所述：  16分
点评：判定数列是否为等差或等比数列，一般要从定义入手，判定相邻两项的差值或比值是否是同一常数，若是则为等差或等比数列，等比数列求和时要注意分公比两种情况，另本题还用到了数列求和常用的方法之一：错位相减法，此法适用于通项为关于的一次式与指数式的乘积形式的数列