Question

【题目】在棱长为2的正方体中，设是棱的中点．

（1）求证：；

（2）求证：平面；

（3）求三棱锥的体积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

试题本题考查了空间中的垂直与平行的判断与性质的应用问题，也考查了求几何体的体积的问题，（1）通过证明平面，得出；（2）通过的中位线证明线线平行，再证明线面平行；（3）点到平面的距离等于点到平面的距离，利用等积法求出三棱锥的体积．

试题解析：解：（1）【证明】连接BD，AE．因四边形ABCD为正方形，故，

因底面ABCD，面ABCD，故，又，

故平面，平面，故．

（2）连接，设，连接，

则为中点，而为的中点，故为三角形的中位线，

，平面，平面，故平面．

（3）由（2）知，点A到平面的距离等于C到平面的距离，

故三棱锥的体积，

而，

三棱锥的体积为．…12分．