Question

设x，y满足约束条件

3x-y-6≤0 x-y+2≥0 x≥0，y≥0

，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则

3

a

+

2

b

的最小值为（　　）

• A．4
• B．

  13

  25

• C．1
• D．2

Answer 1

分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形OABC及其内部，将目标函数z=ax+by对应的直线进行平移，可得当x=4且y=6时z的最大值为4a+6b=12．再利用基本不等式求最值，即可算出

3

a

+

2

b

的最小值．

解答：解：作出不等式组

3x-y-6≤0 x-y+2≥0 x≥0，y≥0

表示的平面区域，
得到如图的四边形OABC及其内部，其中
A（2，0），B（4，6），C（0，2），O为坐标原点
设z=F（x，y）=ax+by（a＞0，b＞0），将直线l：z=ax+by进行平移，
观察y轴上的截距变化，可得当l经过点B时，目标函数z达到最大值
∴z_最大值=F（4，6）=12，即4a+6b=12．
因此，

3

a

+

2

b

=（

3

a

+

2

b

）×

1

12

（4a+6b）=2+

1

6

（

9b

a

+

4a

b

），
∵a＞0，b＞0，可得

9b

a

+

4a

b

≥2

9b a • 4a b

=12，
∴当且仅当

9b

a

=

4a

b

即2a=3b=3时，

9b

a

+

4a

b

的最小值为12，
相应地，

3

a

+

2

b

=2+

1

6

（

9b

a

+

4a

b

）有最小值为4．
故选：A

点评：本题给出二元一次不等式组，在已知目标函数z=ax+by的最大值的情况下求

3

a

+

2

b

的最小值，着重考查了利用基本不等式求最值、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．