Question

19．各项均为正数的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n=2，S_3n=14，则S_4n等于30．

Answer 1

分析 设等比数列{a_n}的公比是q，则q＞0且q≠1，根据题意和等比数列的前n项和公式列出方程组，通过消元和因式分解求出qⁿ和$\frac{{a}_{1}}{1-q}$的值，再求出S_4n的值．

解答 解：由题意设等比数列{a_n}的公比是q，则q＞0且q≠1，
∵S_n=2，S_3n=14，∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}=2}\\{\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3n}）}{1-q}=14}\end{array}\right.$，
两式相除可得，q³ⁿ-7qⁿ+6=0，则q³ⁿ-1-7（qⁿ-1）=0，
即（qⁿ-1）（q²ⁿ+qⁿ-6）=0，解得qⁿ=1或2或-3，则qⁿ=2，
代入$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=2得，$\frac{{a}_{1}}{1-q}$=-2，
∴S_4n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{4n}）}{1-q}$=30，
故答案为：30．

点评 本题考查等比数列的前n项和公式，以及整体代换求值，注意q与1的关系，考查化简、计算能力，属于中档题．