Question

设函数f(x)=cos(2x+

π

3

)+sin2x．
（1）求函数f（x）最小正周期；
（2）设△ABC的三个内角h（x）、B、C的对应边分别是a、b、c，若c=

6

，cosB=

1

3

，f(

C

2

)=-

1

4

，求b．

Answer 1

分析：（1）本题考查三角函数的性质，首先要把原式进行整理，用两角和的余弦公式展开，合并同类项，变为y=Asin（ωx+φ）的形式，再用周期的公式得到结果．
（2）本题结合三角形的问题求解，注意三角形本身的隐含条件，先根据上一问的结果做出角C的正弦值，角B的正弦值，最后应用正弦定理解出要求的边长．

解答：解：（I）f(x)=cos(2x+

π

3

)+sin2x
=cos2xcos

π

3

-sin2xsin

π

3

+

1-cos2x

2

=

1

2

cos2x-

3

2

sin2x+

1

2

-

1

2

cos2x
=-

3

2

sin2x+

1

2

．
∵ω=2，∴T=

2π

ω

=π．
∴f（x）的最小正周期为π．
（II）由（I）得f（x）=-

3

2

sin2x+

1

2

，
∴f(

C

2

)=-

3

2

sin2•

C

2

+

1

2

=-

3

2

sinC+

1

2

．
又f(

C

2

)=-

1

4

，∴-

3

2

sinC+

1

2

=-

1

4

，
∴sinC=

3

2

，
∵△ABC中，cosB=

1

3

∴sinB=

1-( 1 3 )2

=

2 2

3

，
由正弦定理

b

sinB

=

c

sinC

，得b=

c•sinB

sinC

=

6 • 2 2 3

3 2

=

8

3

，
∴b=

8

3

．

点评：这是一个适合做高考题的题目，考查的内容符合大纲要求，包含三角函数的性质和解三角形，题目难度适当，知识点合理，能够培养学生的观察能力，逻辑推理能力．