Question

14．已知△ABC的内角为A、B、C的所对的边分别为a，b，c，且A、B、C成等差数列．且△ABC的面积为4$\sqrt{3}$，则2a+3c的最小值为8$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 由条件利用等差数列的定义求得B=$\frac{π}{3}$，再利用三角形的面积公式求得ac=16，再利用基本不等式求得2a+3c的最小值．

解答 解：△ABC中，A、B、C成等差数列，故2B=A+C，故B=$\frac{π}{3}$，A+C=$\frac{2π}{3}$．
∵△ABC的面积为$\frac{1}{2}$•ac•sinB=4$\sqrt{3}$，∴ac=16，
∴2a+3c≥2$\sqrt{6ac}$=8$\sqrt{6}$，当且仅当2a=3c时，取等号，
故2a+3c的最小值为8$\sqrt{6}$，
故答案为：8$\sqrt{6}$．

点评 本题主要考查等差数列的定义，三角形的面积公式，基本不等式的应用，属于基础题．