Question

4．已知：α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），β∈（0，$\frac{π}{4}$），且cos（$\frac{π}{4}$-α）=$\frac{3}{5}$，sin（$\frac{5}{4}π$+β）=-$\frac{12}{13}$，则cos（α+β）=$-\frac{33}{65}$．

Answer 1

分析 由题意和同角三角函数基本关系可得sin（$\frac{π}{4}$-α）和cos（$\frac{5}{4}π$+β）的值，由三角函数公式可得cos（α+β）=-cos[（$\frac{5}{4}π$+β）-（$\frac{π}{4}$-α）]=-cos（$\frac{5}{4}π$+β）cos（$\frac{π}{4}$-α）-sin（$\frac{5}{4}π$+β）sin（$\frac{π}{4}$-α），代值计算可得．

解答 解：∵α∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），∴$\frac{π}{4}$-α∈（$-\frac{π}{2}$，0），
∵cos（$\frac{π}{4}$-α）=$\frac{3}{5}$，∴sin（$\frac{π}{4}$-α）=-$\frac{4}{5}$，
同理由β∈（0，$\frac{π}{4}$）和sin（$\frac{5}{4}π$+β）=-$\frac{12}{13}$可得cos（$\frac{5}{4}π$+β）=-$\frac{5}{13}$，
∴cos（α+β）=-cos[π+（α+β）]=-cos[（$\frac{5}{4}π$+β）-（$\frac{π}{4}$-α）]
=-cos（$\frac{5}{4}π$+β）cos（$\frac{π}{4}$-α）-sin（$\frac{5}{4}π$+β）sin（$\frac{π}{4}$-α）
=$\frac{5}{13}×\frac{3}{5}-（-\frac{12}{13}）×（-\frac{4}{5}）$=$-\frac{33}{65}$，
故答案为：$-\frac{33}{65}$．

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系，属基础题．