Question

【题目】在三棱柱中，，侧面是边长为2的正方形，点，分别在线段、上，且，，.

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题（1）取线段中点，连接．通过证明，从而有，而，所以面，面，所以面面；（2）记线段中点为，连接，由（1）知，两两互相垂直，以为坐标原点，分别以为正交基底建立如图所示空间直角坐标系.用法向量的方法求直线与平面所成角的正弦值为.

试题解析：

解：

（1）取线段中点，连接．

在正方形中，，

在和中，，

又，所以，

∴，

从而，

所以，即2分

又，

所以面．

面，

∴4分

在等腰三角形中，，又与相交，知

∴面，

面，∴面面6分

（2）

在等腰三角形中，由知，且，

记线段中点为，连接，由（1）知，两两互相垂直，

以为坐标原点，分别以为正交基底建立如图所示空间直角坐标系，则

8分

设平面的法向量为，则，即

，

取，则，从而得到平面的一个法向量10分

，记直线与平面所成角为，

则．

故直线与平面所成角的正弦值为12分