Question

设f （n）为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如f（123）=1²+2²+3²．记f₁（n）=f （n），f_k+1（n）=f[f_k（n）]（k=1，2，3，…），则f₂₀₀₇（2007）=（ ）
A．20
B．4
C．42
D．145

Answer 1

【答案】分析：由题意求出f（2007）的值，然后求出f（f（2007））的值，顺次进行，求出它的周期即可得到结果．
解答：解：由题意f（2007）=2²+0²+0²+7²=53，
f（f（2007））=f（53）=5²+3²=34，
f（34）=3²+4²=25，
f（25）=2²+5²=29，
f（29）=2²+9²=85，
f（85）=8²+5²=89，
f（89）=8²+9²=145，
f（145）=1²+4²+5²=42，
f（42）=20，
f（20）=4，
f（4）=16，
f（16）=37，
f（37）=58，
f（58）=f（85）…8次一个循环，
即f（k+8n）=f k（n），
∵f₁（n）=f （n），f_k+1（n）=f[f_k（n）]
∴f₂₀₀₇（2007）=f（f（f（f（f（…f（2007）…）））））），
共有2007次计算，
所以表达式取得206次计算后，经过250次循环，
∵250=8×31+2
∴余下一次计算是f（89），
∵f（89）=8²+9²=145，
∴f₂₀₀₇（2007）=145．
故答案为：145．
点评：本题考查函数值的计算，综合性强，难度大，容易出错．解题时要认真审题，求出函数的值去掉计算后，得到函数的周期性计算的解题的关键．