Question

12．已知定义在R上的函数y=f（x）对任意的x都满足f（x+2）=f（x），当-1≤x＜1时，f（x）=x³．若函数g（x）=f（x）-log_a|x|恰有6个不同零点，则a的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{1}{7}$，$\frac{1}{5}$]∪（5，7]
• B． （$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{3}$]∪（5，7]
• C． （$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{3}$]∪（3，5]
• D． （$\frac{1}{7}$，$\frac{1}{5}$]∪（3，5]

Answer 1

分析 本题通过典型的作图画出log_a|x|以及f（x）的图象，从图象交点上交点的不同，来判断函数零点个数，从而确定底数a的大小范围．

解答 解：首先将函数g（x）=f（x）-log_a|x|恰有6个零点，这个问题转化成f（x）=log_a|x|的交点来解决．
数形结合：如图，f（x+2）=f（x），知道周期为2，当-1＜x≤1时，f（x）=x³图象可以画出来，同理左右平移各2个单位，得到在（-7，7）上面的图象，
以下分两种情况：
（1）当a＞1时，log_a|x|如图所示，左侧有4个交点，右侧2个，
此时应满足log_a5≤1＜log_a7，即log_a5≤log_aa＜log_a7，所以5≤a＜7．
（2）当0＜a＜1时，log_a|x|与f（x）交点，左侧有2个交点，右侧4个，
此时应满足log_a5＞-1，log_a7≤-1，即log_a5＜-log_aa≤log_a7，所以5＜a^-1≤7．故$\frac{1}{7}$≤a＜$\frac{1}{5}$综上所述，a的取值范围是：5≤a＜7或$\frac{1}{7}$≤a＜$\frac{1}{5}$，
故选：A．

点评 本题考查函数零点应用转化为两个函数交点来判断，又综合了奇函数对称性对数运算等知识，属于较难的一类题，端点也要认真考虑，极容易漏掉端点．